交流阻抗之 Y-Δ 與 Δ-Y 變換

二哥昨天算電路學習題的 Δ-Y 變換, 結果與解答用 Y-Δ 解的不同, 照理不管用 Y-Δ 或 Δ-Y 解出來答案一定一樣啊! 為了驗算我找出電路學的書, 因為公式其實我也忘了, 既然複習了就順便記一下, 免得下次又要翻書. 

Y-Δ 變換之電路如下 :

Y-Δ 變換公式 (口訣 : 兩兩相乘除以對面) :

Δ-Y 變換公式 (夾乘除以和) :

其中 Z 廣義來說在交流是包含 R, L, C 的阻抗, 狹義來說在直流僅指電阻 R 而已, 但公式都一樣, 差別是交流電要用複數理論之應用~相量 (phasor) 來分析, 這主要是德裔美籍數學家史坦梅茲 (Charles Steinmetz) 的偉大貢獻. 

複數與相量的數學基礎來自尤拉公式, 在複平面裡它巧妙地連結了複指數與三角函數的關係 : 

在交流相量分析中主要的運算集中在複數的直角座標 (rectangular form) 與極座標 (polar form) 的來回轉換, 即相加減時轉成直角坐標; 相乘除時轉成極坐標較方便, 因為極座標相乘除時角度只要相加減即可. 

複數與相量運算公式如下 :

有一個用 PHP 寫的線上直角坐標與極坐標轉換網站在做電路學習題驗算時很方便 : 

# https://www.intmath.com/complex-numbers/convert-polar-rectangular-interactive.php

上半部是極座標轉直角座標, 下方則是直角座標轉極座標. 

二哥這題題目如下, 求解電流 I  : 

此題右側電路有上下兩個 Δ 電路 (或者左右兩個 Y 電路), 比較簡單的解法是將下方三個電阻形成的 Δ 轉成 Y 電路, 比較好算, 依上列公式 :

z1=(40*50)/(40+50+10)=2000/100=20

z2=(10*50)/(40+50+10)=500/100=5

z3=(40*10)/(40+50+10)=400/100=4

轉成 Y 電路後, z1 與電感 j40 串聯為 20+j40, 而 z2 與電容 -j15 串聯為 5-j15, 這兩串又並聯在一起, 並聯阻抗公式如下 : 

Zeq=(20+j40)*(5-j15)/(20+j40+5-j15)=(100-j300+j200+600)/(25+j25)=(700-j100)/(25+j25)=707.11 ∠ 351.87^o/ 35.36 ∠ 45.00^o=20 ∠ 306.87^o = 12-j16

z3 可跟 14 歐姆電阻串聯合併為 4 + 14=18 歐姆, 最後再跟上面的 Zeq 串聯得總阻抗 :

Z=18+12-j16=30-j16 

故電流為 :

I=V/Z=136 ∠ 0^o  / (30-j16) = 136 ∠ 0^o  /  34.00 ∠ 331.93^o  = 4 ∠ -331.93^o =4 ∠ 28^o 

2022-05-23 補充 :

上周有網友留言, 希望我幫他算一下跟 Δ-Y 變換有關的題目, 其實只要照上面的步驟一步步反覆進行極座標與直角座標換算都能順利得到結果. 雖然很忙, 但還是答應算看看, 題目如下 : 

作法與上面的範例一樣, 就是將底下的 Δ 網路變換成 Y 網路, 這樣 Y 的兩個上叉就可以與上面的阻抗先串聯再並聯, 然後再跟底下 Y 的下叉串聯得到總阻抗, 演算如下 :

z1=zb*zc/(za+zb+zc)=(5-j2)*(8+j5)/(10+5-j2+8+j5)=(5-j2)*(8+j5)/(23+j3)

    = 5.39 ∠ 338.20o * 9.43 ∠ 32.01o / 23.19 ∠ 7.43o =2.1918 ∠ 362.78o

    =2.19 + j0.11

z2=za*zc/(za+zb+zc)=10*(8+j5)/(10+5-j2+8+j5)=(80+j50)/(23+j3)

    = 94.34 ∠ 32.01o/ 23.19 ∠ 7.43o =2.9472∠ 24.58o

    =2.68 + j1.23

z3=zb*za/(za+zb+zc)=(5-j2)*(10)/(10+5-j2+8+j5)=(50-j20)3+j3)

    = 5.39 ∠ 338.20o * 9.43 ∠ 32.01o / 23.19 ∠ 7.43o =2.1918 ∠ 362.78o

    =2.19 + j0.11

zp=(j4+z1)*(-j3+z2)/(j4+z1-j3+z2)

      =(j4+2.19+j0.11)*(-j3+2.68+j1.23)/(j4+2.19+j011-j3+2.68+j1.23)

      =(2.19+j4.11)*(2.68-j1.77)/(4.87+j2.34)

      =4.66 ∠ 61.95o * 3.21 ∠ 326.56o / 5.40 ∠ 25.66o     

      =14.9586 ∠ 388.51o / 5.40 ∠ 25.66o  =  2.77 ∠ 362.85o  

      =2.77 +j 0.14  

Z=zp+z3=2.77 + j0.14 + 2.19 + j0.11=4.96 + j0.25= 4.97 ∠ 2.89o  

I=V/Z=45∠30o / 4.97 ∠ 2.89o =  9.05 ∠ 27.11o

得到電流 I=9.05 ∠ 27.11o , 書本答案是 I=9.456 ∠ 33.08o , 有一點小誤差, 檢視演算過程並無錯誤, 應該是取的約數經過多次轉換後形成的誤差. 別看過程只有幾行, 這可要花不少時間演算, 真的好累. 

2022-10-28 補充 :

近日收到士林電機的周兄來信提供 Y-Δ 變換更精簡的公式 : 

看到這公式讓我想起以前在電路學課堂上老師好像有導過 (有空要查一下泛黃的電路學筆記有沒有抄下來, 哈), 感謝周兄專業的建議.