蒙提霍爾問題

昨天在 Netflix 看了一部丁海寅主演的 6 集迷你韓劇 : D.P 逃兵追擊令 : 

# Netflix : D.P：逃兵追緝令

此劇描寫南韓軍中霸凌問題, 原本以為這是一部探討嚴肅主題的戲劇, 應該很沉重晦暗 (當過兵的人都了解吧), 但看過後覺得也不乏溫馨與搞笑元素, 每一集結局不同, 有無奈遺憾的, 也有 happy ending 的, 我覺得劇本寫得真好, 不落俗套. 

其中第四集 "蒙提霍爾問題" 描述一個大學學霸許治度為了籌失智奶奶的療養院資金, 中途休學入伍從軍, 他在軍中賭牌局總是能贏錢, 秘訣就是他熟知數學賽局理論中的蒙提霍爾問題, 並在機率論課堂上上台為全班做出解答, 但我沒有聽懂, 好奇之下就去 wiki 查詢, 摘要如下 :  

此問題得名源自於美國遊戲節目 Let's make a deal 的主持人名字 Monte Hall. 此遊戲是讓參賽者從三扇門中選一個門, 其中一個門後面的獎品是汽車, 另外兩個門後面則是山羊, 主持人完全知道門後面是甚麼, 當參賽者選定後, 不論他是否選中汽車, 主持人必須開啟其中一個後面是山羊的門, 然後問參賽者是否要改變主意, 改選另一個門. 

直覺上來說, 既然主持人一定會開啟一個後面是山羊的門, 那麼剩下的兩個門必定有一個是汽車, 另一個是山羊, 對於參賽者來說改不改變選擇似乎成功選中汽車的機率都是 1/2 對吧? 答案是不對, 出乎意料地, 參賽人若改變原來的選擇成功抽中汽車的機率是 2/3, 不是 1/2, 亦即改變選擇對參賽者而言具有機率上的優勢. 

曾經是金氏世界紀錄史上智商最高 186 的美國女性 Marilyn vos Savant 於 1980 年代的一本雜誌中對此問題提出了解答, 她的答案雖然與直覺大相逕庭, 但卻是正確無疑的. 其分析是轉不轉換其實有三種情況而非兩種, 如果參賽者原本就選中汽車, 則轉換將導致失敗, 如果參賽者選中兩隻羊的任何一隻, 轉換都會成功, 這三種情況的機率各 1/3, 故而改變主意成功的機率為 2/3, 是堅持不換的兩倍.